Nghiên cứu : Quan hệ lưu lượng giao thông và thời gian đi lại

Một ví dụ tính toán đơn giản
Bài này đưa ra một ví dụ đơn giản để minh họa vấn đề phân bổ lưu lượng giao thông trong mạng lưới đường (traffic assignment) bao gồm mô tả các giả thiết cũng như tính toán trên một mạng lưới đơn giản. Qua đó nêu lên vấn đề tối ưu hóa dòng giao thông và đề xuất hình thức thu phí giao thông tối ưu (optimal congestion pricing)

Nội dung
1) Phân bổ lưu lượng giao thông
2) Lưu lượng và thời gian đi lại
3) Hành vi lựa chọn đường đi tối ưu
4) Trạng thái cân bằng
5) Phân bổ lưu lượng tối ưu
6) Phí giao thông tối ưu

1) Phân bổ lưu lượng giao thông
Mô hình phân bổ lưu lượng – Traffic Assignment Model phân bổ một nhu cầu giao thông cho trước xuống một mạng lưới đường cho trước bằng cách mô phỏng hành vi lựa chọn đường đi của người đi đường và tương tác giữa sự lựa chọn đường đi và điều kiện đi lại.
Mạng lưới đường: mạng lưới đường biểu diễn dạng đồ thị G=(N,A) trong đó N là tập hợp các đỉnh và A là tập hợp các cạnh của đồ thị. Mỗi cạch của đồ thị tương ứng với một đoạn đường đồng nhất có các đặc trưng vật lý nhất định.
Nhu cầu đi lại: giả sử rằng người đi đường không đi từ một điểm bất kỳ đền một điểm bất kỳ khác trên đồ thị mà chỉ xuất phát từ một số điểm nhất định và đến một số điểm nhất định: điểm đi (Origine) và điểm đến (Destination). Nhu cầu đi lại tương ứng với điểm di O và điểm đến D là một số lượng xe Q cần đi từ O đến D.
Một ví dụ đơn giản: trong khôn khổ bài này chỉ phân tích một ví dụ đơn giản: một mạng lưới đường bao gồm hai đường d1 và d2 nối điểm đầu O và điểm cuối D, nhu cầu đi lại từ O đếnD là một số lượng Q xe đồng nhất, trong ví dụ tính toán lấy Q=120.


Hình 1 : Minh họa mạng lưới đường


2) Lưu lượng và thời gian đi lại
Đặt xi, ti lần lượt là lưu lượng và thời gian đi lại trên đường di. Đặc điểm quan trọng của giao thông đường bộ là thời gian đi lại tăng cùng với lưu lượng: có càng nhiều phương tiện lưu thông trên cùng một đoạn đường thì thì vận tốc của dòng xe càng giảm và thời gian đi lại càng tăng. Như vậy ti có thể được biểu diễn như là một hàm đơn điệu tăng của xi.
Để đơn giản hóa các công thức, giả sử quan hệ này là tuyến tính : ti=αi+γiti, trong đó 1/γiphản ánh khả năng thông hành của đuờng (1/γi càng lớn thì γi càng nhỏ - càng ít ùn tắc) và αiphản ánh chiều dài của đường (αi càng lớn thì thời gian chạy xe càng tăng). Cụ thể hơn cho ví dụ này lấy :
γi = 1, αi = 25 do đó t1 = x1+25;
γi = 2, αi = 40 do đó t1 = 2x2+40;

3) Hành vi lựa chọn đường đi tối ưu
Một cách tự nhiên từng cá nhân người đi đường sẽ lựa chọn đường đi mà thời gian đi lại nhỏ nhất có thể. Người ta thường giả thiết là người đi đường sẽ lựa chọn và thay đổi đường đi cho đến khi từng cá nhân người đi đường không có lợi ích khi đơn phương thay đổi đường đi. Trạng thái cân bằng này gọi là cân bằng Wardrop 1 (User Equilibrium) trong giao thông ( hoặc cân bằng Nash trong lý thuyết tối ưu ).
Như ở ví dụ này, ban đầu đường d1 ngắn hơn và có khả năng thông hành tốt hơn. Nếu nhu cầu đi lại nhỏ, ví dụ Q=5, thời gian đi lại trên đường d1 luôn nhỏ hơn đường d2, nên tất cả người đi đường đều chọn đường d1. Khi nhu cầu đi đường Q tăng lên, đến một lúc nào đó thời gian chạy xe của đường d1 có nguy lớn hơn đường d2 nếu tất cả mọi người đều đi trên đường d1. Vì thế một phần người đi đường sẽ chọn đường d2 để đi: lúc này thời gian đi lại trên hai đường là bằng nhau.

4) Trạng thái cân bằng
Trong trường hợp Q=120, nhu cầu đi đường đủ lớn để người đi đường chọn cả hai đường, bài toán được viết lại tìm x1, x2 sao cho :
t1=t2
, thỏa mãn điều kiện :
bảo toàn lưu lượng: x1+x2 = Q
quan hệ lưu lượng-thời gian: ti=αi+γiti với i = 1, 2
không âm: xi ≥ 0
Bài toán này có thể giải dễ dàng và ta có : x1 = 85, x2 = 35, t1 = t2 = 110. Như vậy tổng thời gian đi lại của tất cả người đi đường là :TUE = x1*t1+ x1*t1 = 110*120 = 1320.

5) Phân bổ lưu lượng tối ưu
Với giả thiết về hành vi lựa chọn đường đi như ở mục 3) thì trạng thái phân bổ lưu lượng vừa tìm được ở trên gần phân bổ giao thông trên thự tế thực tế khi người đi đường được tự do lựa chọn đường đi để giảm tối đa thời gian đi lại của cá nhân họ nhưng câu hỏi đặt ra ở đây là trạng thái này có tối ưu hay không?
Dưới góc nhìn của người quản lý giao thông trạng thái phân bổ tối ưu đạt được khi và chỉ khi tổng thời gian đi lại của mọi người là nhỏ nhất, có nghĩa là:
min(x1*t1 + x2*t2)
, thỏa mãn 3 điều kiện nêu ra ở phần 4) ở trên : bảo toàn lưu lượng, quan hệ lưu lượng thời gian và không âm.
Hàm cực tiểu được viết lại như sau : min[f(x1,x2)=x1*(x1+25)+x2*(2x2+40)].
Bài toán này cũng có thể giải dễ bằng cách lấy đạo hàm từng phần của f(x1,x2). Kết quả thu được như sau : x1 = 82.5, x2 = 37.5, t1 = 107.5 và t2 = 115. Như vậy tổng thời gian đi lại của tất cả người đi đường lúc này :
TSO = x1*t1+ x1*t1 = 82.5*107.5+37.5*115=13181.25
Trạng thái phân bổ giao thông này được gọi là System Optimum, khi mà một số người đi đường hy sinh bớt quyền lợi riêng của mình, chọn đường có thời gian dài hơn để giảm bớt chi phí cho toàn xã hội. So với việc phân bổ giao thông một cách “tự nhiên” ở trên, trạng thái này tiết kiệm được:
ΔT = TUE - TSO = 13200-13181.25 = 18.75

6) Phí giao thông tối ưu
Tuy trạng ở đây chênh lệch giữa trạng thái tối ưu System Optimum và trạng thái lựa chọn đường đi tự nhiên là không nhiều, khoảng 1.4% nhưng ở những mạng lưới đường lớn có nhiều đường và nhu cầu giao thông lớn thì khoảng chênh lệch 1.4% là tương đối có ý nghĩa.
Vấn đề ở đây là từng người đi đường, bản thân họ không có lợi ích để hình thành trạng thái này vậy người quản lý cần phải tác động đến hành vi lựa chọn đường đi của người đi đường?
Để ý ở hai trường hợp trên chúng ta thấy ở trường hợp System Optimum, lưu lượng trên đường d1 là 83.5 ít hơn ở trường hợp trên User Equilibrium là 85, như vậy nhà quản lý cần phải làm gì đó để giảm bớt lưu lượng trên đường này.
Một trong những biện pháp có thể là thu phí giao thông. Vì thời gian là tiền bạc và tiền bạc là thời gian nên việc thu phí trên đường cũng tương đương với việc kéo dài thời gian chạy xe và ngược lại: giả sử rằng người ta có thể đổi chi phí lấy thời gian và ngược lại theo một hệ số nào đó (khái niệm giá trị thời gian-Value of Time).
Giả sử biện pháp thu phí giao thông có tác động đến lựa chọn của người đi đường như là kéo dài thời gian thêm p đơn vị ở trên đường d1. Quan hệ thời gian – lưu lượng trên hai đường như sau:
t1 = x1+25+p vì trên đường d1 người đi đường bị thu phí giao thông
t2 = 2*x2+40 vì không thu phí trên đường d2.
Bài toán phân bổ giao thông, với giả thiết về hành vi của người đi đường tự nhiên như ở 3) giờ được viết lại như sau:
t1=t2
, thỏa mãn điều kiện :
bảo toàn lưu lượng: x1+x2 = Q
quan hệ lưu lượng-thời gian: t1 = x1+25+p và t2 = 2*x2+40
không âm: xi ≥ 0
Giải bài toán này ta có : x1=85-p/3, x2=35+2p/3, t1=t2=110+2p/3.
Để cho phân bổ giao thông đạt tội ưu, việc thu phí giao thông phải thực hiện sao cho: 82-p/3 = 82.5 . Như vậy p=7.5- phí giao thông cần phải thu trên đường d1 để việc phân bổ giao thông được tối ưu.
Việc thu phí giao thông không gây ra chi phí xã hội mới vì tiền chỉ chuyển từ người đi đường sang nhà quản lý. Nhờ việc thu phí giao thông này, những người chấp nhận trả tiền sẽ phải chịu thời gian đi lại thấp hơn, tổng chi phí đi lại của toàn xã hội giảm đến tối thiểu và ở một mức độ nào đó, người quản lý có thêm nguồn thu để chỉnh trang đường sá.Ở trên đã minh họa được một trong những nguyên tắc cơ bản của việc thu phí ùn tắc cũng như việc tính phí giao thông tối ưu (congestion pricing – congestion charging).